Irrational zenbakiak: zer da eta zer erabili dira?

Zer da zenbaki irrazional bat? Zergatik deitzen dira? Non erabiltzen dira, eta zer osatzen? Zalantzarik gabe can Gutxik galdera horiei erantzuteko. Baina, hain zuzen ere, erantzun nahiko sinpleak dira, guztiak beharrezkoak eta egoerak oso arraroa izan arren, ez,

funtsa eta izendapen

Irrational zenbakiak amaigabeak ez-aldizkako dira hamartarrak. kontzeptu hori aurkeztu beharrik Izan ere, ordena sortzen ari erronka berriei aurre egiteko ere izan ditu nahikoa lehendik zenbakiak benetako edo erreala, osoa, natural eta arrazionala kontzeptuak izan abiatzen da. Adibidez, kantitate bat plazan 2 da, kalkulatzeko, ez-aldizkako infinitua hamartar frakzio bat erabili behar duzu. Gainera, ekuazio sinple asko ere izan zenbakiak irrazional kontzeptua sarrera gabe konponbiderik.

- Multzo hau I. moduan adierazia dago eta, ha argi bihurtu den bezala, balio horiek ez dira zatiki errazak gisa irudikatzen ahal, zenbakitzailea horietatik osoa da, eta izendatzaile kopurua natural bat.

Lehen aldiz alde batera edo bestera fenomeno honen aurrean Indian matematikariek VII mendean dituzten For BC, aurkitu zenean kantitate jakin sustraiak plazan ezin da argi eta garbi identifikatu. zenbakiak, besteak beste, existentziaren lehen froga bat ordainduko da Pythagorean Hippasus, nork egin du isosceles triangelu baten ikerketan. Multzo honetan ikerketan ekarpen larria ekarri dute, nahiz eta zientzialari batzuek Kristo aurretik bizi izan zen. zenbakiak irrazional kontzeptua sartzeak dagoen sistema matematiko, eta horregatik dira hain garrantzitsuak berrikusketa bat ekarri zuen.

izenaren jatorriari

Latinez ratioa bada - "jaurtiketa", "jarrera", aurrizkia da "ir"
hitza kontrakoa erantsita. Horrela, zenbaki horiek multzoa izena adierazten dutela ezin dira zenbaki oso bat edo osokoari korrelazioan, eserleku bat. Honek bere izaera eratorria da.

sailkapen orokorrean Jarri

Zenbaki irrazionalak, arrazional batera erreala edo birtuala talde bat, eta aldi berean konplexua sartzen dio erreferentzia. Azpimultzo ez, ordea, aljebraiko eta transcendental mota, horren azpitik eztabaidatuko da bereiztea.

propietate

irrazional zenbakiak delako - benetako multzo baten zati da, eta, ondoren, horiek aplikatuko beren propietate guztiak, diren aritmetika aztertzen (ere deitzen oinarrizko aljebraiko legeak).

a + b = b + a (trukakortasuna);

(A + b) + c = a + (b + c) (elkarkortasuna);

a + 0 = bat;

a + (-a) = 0 (alderantzizko gehigarri existentzia);

ab = ba (commutative legeak);

(AB) c = a (bc) (Distributivity);

a (b + c) = ab + ac (banaketako legeak);

Aizkora 1 = a

Aizkora 1 / a = 1 (existentzia kopurua alderantzizkoa);

Konparazioa Halaber, lege eta printzipio orokorren arabera egin da:

a> b eta b> c, orduan a> c (iragankortasun ratio) eta gero. t. d.

Jakina, irrazionala zenbaki guztiak bihurtutako daiteke aritmetika oinarrizko eragiketak erabiliz. arau berezirik honetan.

Horrez gain, irrazional zenbakiak Archimedes axioma estalita. Bi a eta b balioak edozein egia da, hori epe bat hartu aldiz kopuru nahikoa bezala, posible da b gainditzeko dela.

erabilera

Izan ere, bizitza errealean ez askotan haiei aurre izan arren, zenbaki irrazionalak ez kontu eman. askok handia dira, baina ia ikusezinak dira. zenbaki irrazional inguratuta gaude. Adibideak, guztiak, ezagunak - kopurua pi du, 3.1415926 ... edo e baten berdina, logaritmoak natural, 2,718281828 ... algebra, trigonometria eta Geometrian horiek etengabe erabili behar base bat da funtsean. Bide batez, ezagun "urrezko atala" balioa, hau da, nola handiko askoz alderantziz baxua eta alderantziz den ratioa, eta dio erreferentzia multzo hau. Gutxiago ezagunak "zilarra" - too.

zenbakia lerroan, oso hurbil daude eta, beraz, edozein bi kantitate, arrazionala multzoa estalita artean, irrazionala nahitaez gertatzen dira.

Orain arte, ez dago multzo honekin lotutako gabeko arazoak asko daude. besteak beste, neurri irrazionaltasuna eta zenbakiaren normaltasun gisa irizpide daude. Matematikarien jarraitzeko adibide esanguratsuenetako esploratzeko bere talde bat edo beste pertenecientes da. Adibidez, onartuta dago e hori - kopuru normala da, hau da, agerraldia probabilitatea bere figura ezberdinak grabazioa ere berdinak dira ... pi bezala, eta gero bere nahiko luzea ikertzen ari. Neurtu irrazionaltasuna ere deitzen balio, adierazten nola ondo kopuru jakin bat zenbakiak arrazionala by hurbil daitezke.

Aljebraikoa eta transcendental

Dagoeneko aipatu bezala, zenbaki irrazional baldintzatuan aljebraiko eta transcendental banatuta. Ohi,, baita berez, sailkapenaren aniztasuna C. zatitzeko erabiltzen da

izendapen hau Under the konplexua zenbakiak, horien artean, benetako edo erreala ezkutatzen.

Beraz aljebraiko balio bat, hau da polinomioaren erroa ez da berdin zero izeneko. Adibidez, 2 erro karratua egingo kategoria honetan erori, ekuazioa x ² konponbide bat delako - 2 = 0.

beste guztiak benetako zenbakiak ez duten egoera hau asetzeko transzendentala deitzen dira. Espezie hau eta gehien ezagun eta dagoeneko aipatu adibide - kopurua pi eta logaritmo base e duena.

Interesgarria da, ez bata ez bigarrena ziren jatorriz matematikariek esaterako by hazten, haien irrazionaltasuna eta transzendentziaren urte askotan beren aurkikuntza ondoren bidez frogatu. pi froga For 1882an emandako zen eta 1894an, eta bertan jarri zirkulua, eta horrek 2500 urtez iraun zuen squaring arazoari buruzko eztabaida izatea erraztu. Da oraindik ez guztiz ulertzen, matematika modernoaren beraz dute lan egin. Bide batez, balio honen lehenengo kalkulua arrazoiz zehatza izan Archimedes. Haren aurrean, kalkulu guztiak too gutxi gorabeherako ziren.

e (Eulerren zenbakia, edo Napier), bere transzendentziaren froga 1873an aurkitu zen. It logaritmikoa ekuazioak ebazteko erabiltzen da.

beste adibide artean - sine balioak, kosinua eta tangentea edozein algebraikoa zero balioak.