Probabilitate teoria. Gertaera baten probabilitatea, noizbehinkako ekitaldi (Probabilitate teoria). Probabilitate teoria Independent eta bateraezinak garapen

Zaila da jende askok uste posible da ekitaldirik zenbatu, eta horrek neurri batean nahi gabe ere. Jarri hitz simple, da errealista zein alboko dado en kubo hurrengoan erori egingo ezagutu zuen. Galdera hau bi zientzialari handia galdetu izan zen, zientzia honen oinarria, teoria ezarritako probabilitate, probabilitatea bertan aztertu zabala nahikoa gertaera.

belaunaldi

hala nola kontzeptu bat Probabilitate teoria gisa definitzen saiatzen bazara, honako lortuko dugu: hau da matematikaren adar ausazko gertaeren konstantzia aztertzen dituen bat. Bistan denez, kontzeptu hori benetan ez du esentzia agerian, beraz, kontuan hartu beharreko xehetasun gehiago behar duzu.

to teoriaren sortzaileetako batekin hasi nahi nuke. Goian aipatu zen bezala, bi izan ziren, hau Per Ferma eta Blez Paskal. lehenengoa formulak eta kalkulu matematiko erabiliz gertaera baten emaitza kalkulatzeko saiatu ziren. Oro har, zientzia honen oinarriak nahiz Erdi Aroan dago. hainbat pentsalari eta zientzialari Casino jokoak, hala nola, erruleta, Craps gisa, eta abar aztertzeko, saiatu berriz horrela eredu bat ezartzea, eta ehunekoa zenbaki bat galtzea. fundazio, gainera, XVII mendean ezarri zen aipatutako jakintsu izan zen.

Hasieran, bere lana ezin izan du arlo horretan lorpen handia egozten, azken finean, zer egin zuten, egin ziren gertaerak enpirikoak eta esperimentuak ziren argi formula erabili gabe. Denborarekin, emaitza bikaina, zein hezurren Aktoreen behaketa baten ondorioz agertu lortzeko horrexegatik da. Da tresna hau lagundu du lehen formula desberdin ekartzea.

aldekoak

Ez aipatzea, hala nola gizon bat Christiaan Huygens bezala, gaia "Probabilitate teoria" ren izena daraman ikasten prozesuan (gertaeraren probabilitatea azpimarratzen da zientzia honetan). Pertsona hau oso interesgarria da. formula matematiko eran daude zituen, baita arestian aurkeztutako zientzialariak saiatu ausazko gertaeren eredu bat deduzitzea. Azpimarratzekoa ez zuela partekatu Pascal eta Fermat batera dago, hori da bere lan guztiak ez ditu adimenak horiek bata bestearen gainean. Huygens eratorritako probabilitate teoriaren oinarrizko kontzeptuak.

Izan ere interesgarri bat da bere lan hori izan zen luze aitzindari lanak emaitzak aurretik, zehatza izango, hogei urte lehenago. Bakarrik daude identifikatuta zeuden kontzeptuak artean:

• probabilitate balioak aukera kontzeptua bezala;
• diskretuak kasuan esperantza;
• Horrez eta probabilitate ugaltzea teorema.

Era berean, ezin da ahaztu Yakoba Bernulli, ere arazoaren ikerketan lagundu. beren, ez haietako probak independentea bidez, zenbaki handien legea froga emateko gai izan zen. Aldi berean, zientzialariek Poisson eta Laplace, nor zen XIX mendearen hasieran lan egin, jatorrizko teorema frogatzeko aukera izan zuten. Une horretatik aurrera, behaketa akatsak aztertzeko probabilitate teoria erabiltzen hasi ginen. zientzia honen inguruan Party ezin eta errusiera zientzialari, baizik Markov, Chebyshev eta Dyapunov. Lan egin jenio handia oinarritzen dira, gaia matematikaren adar bat bezala segurtatu. Datu horiek aritu gara XIX mendearen bukaeran, eta euren ekarpena esker, frogatu fenomeno, hala nola:

• zenbaki handien legea;
• Markov kateak teoria;
• Limitearen teorema.

Beraz, zientziaren eta pertsonalitate garrantzitsu dela lagundu dituzten jaiotza historia, dena gehiago edo gutxiago argia da. Orain denbora out haragia hechos guztiak da.

oinarrizko kontzeptuak

ukitu aurretik legeak eta teorema probabilitate teoriaren oinarrizko kontzeptuak ikasi behar. Gertaera rol nagusi bat hartzen du. Gai hau nahiko zabala da, baina ez gainerako guztiak ulertu hori gabe ezin izatea.

Probabilitate teorian gertaera - da esperimentuaren emaitza edozein multzo. Fenomeno horren kontzeptuak han ez da nahikoa. Horrela, Lotman zientzialari inguru honetan lanean, adierazi du kasu honetan hori zertaz ari garen "gertatu ahal izan ez arren gertatuko."

Random ekitaldiak (Probabilitate teoria arreta berezia eskaintzen die haiei) - erabat edozein fenomeno aukera gertatzeko izatea dakar kontzeptu bat da. Edo, aitzitik, eszenatoki honetan ezin hainbat baldintza errendimendua gertatuko. Era berean, merezi fenomenoak besterik ausazko gertaerak gertatzen bolumen osoa okupatzen duten jakitea da. Probabilitate teoria iradokitzen baldintza guztiak errepika daiteke etengabe. Beren jokabide izan da deitu "esperientzia" edo da "test".

Gertaera esanguratsua - honek fenomeno bat dela gertatuko proba honetan ehuneko ehunean da. Hori dela eta, ezinezkoa gertaera - hau zerbait ez dela gertatuko da.

bikoteka Ekintza (conventionally kasuan, A eta B, kasu) konbinatuz fenomeno bat gertatzen da aldi berean da. AB gisa ari dira aipatzen.

A ekitaldiak bikote eta B zenbatekoa - C da, bestela esanda, gutxienez horietako bat da (A edo B), C a formula deskribatu fenomeno C = A + B gisa idatzia jasoko dituzu

Probabilitate teoria bateraezina garapen dakar bi kasuak direla bateraezinak dira. Aldi berean daude Edonola ezin gertatzen dira. Joint ekitaldiak probabilitate teorian - beren antipoda da. Inplikazioa da A gertatu bada, ez du baztertzen C.

gertaera (Probabilitate teoria jotzen haiek zehaztasun handiz) kontrajarriak, erraz ulertzeko. onena haiei aurre alderatuz da. Ia probabilitate teoria bateraezina gisa garapen bera dira. Hala ere, beren desberdintasuna da fenomeno pluraltasuna Edonola bat gerta luke.

Era berean, litekeena ekitaldiak - ekintza horiek, errepikapena aukera ere berdina da. argi egiteko, txanpon bat tossing pentsa daiteke: bere aldeetan bat galtzea berdin litekeena galtzea beste da.

errazagoa da gertaera erraztuz adibide kontuan hartu behar. Demagun ez du Pasarte A. Lehenengoan pasarte bat da - kopuru bitxia etorrerak die bat roll, eta bigarren - kopurua bost itxura dado. Ondoren, bihurtzen da hori esker V. da

Independent ekitaldiak probabilitate teorian bi edo gehiago alditan bakarrik proiektatzen dira eta beste edozein ekintza independenteak inplikatzeko. Adibidez, A - dostavanie jack bizkarreko - galera ilarak txanpon tossing eta B at. Probabilitate teorian gertaera independenteak dute. Une horretatik aurrera argi geratu zen.

Probabilitate teorian menpeko ekitaldiak ere egin da zilegi euren multzo bakarra da. Bat menpekotasuna esan nahi dute, bestetik, hau da, fenomenoaren bakarrik kasuan ere gerta daiteke A dagoeneko gertatu edo, aitzitik, ez zen gertatu denean da - B. baldintza nagusia

osagai bakar bat osatzen dute ausazko esperimentu emaitza - da oinarrizko gertakari hori. Probabilitate teoria dio fenomeno hori behin bakarrik egiten den dela.

oinarrizko formula

Horrela, goian eta "gertaera", "Probabilitate teoria" kontzeptua hartzen ziren, zientzia honen baldintzak gakoa definizioak ere eman zen. Orain denbora bera ezagutzea da formula garrantzitsua da. esamolde hauek matematikoki baieztatu dira kontzeptu nagusiak probabilitate teoria gisa gaia zaila, hala nola. Gertaera baten probabilitatea eta rol handia jokatzen du.

Hobeto konbinatorian oinarrizko formula batekin hasteko. Eta horiek hasi aurretik, merezi du zer den kontuan hartuta.

Konbinatoria - nagusiki matematikaren adar bat, izan zuen osokoak, eta hainbat biak zenbakiak eta haien elementuak, hainbat datu, etab permutazioak kopuru handi bat ikasten, konbinazio kopurua bat liderra ... Probabilitate teoria ez ezik, industria honek estatistikak, informatika eta kriptografia garrantzitsua da.

Beraz, orain mugitu dezakezu beren buruari eta definizio formulak aurkezpena egiteko.

Horietako lehena permutazio kopurua for adierazpena da, honela da:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Ekuazioa bakarrik kasuan aplikatzen elementu datoz bakarrik bada antolaketa ordenan.

Orain kokapen formula, hau kontuan hartu bezalakoa izango itxura:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Adierazpen hau aplikatzen da, ez bakarrik ordena laneratze elementu bakarra, baina baita bere osaketa da.

Hirugarren konbinatorian ekuazioa, eta nik azken hau da, konbinazio kopurua formula izeneko:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

laginketa izeneko uztartuta, ez diren agindu zuen, hurrenez hurren, eta arau hori aplikatu.

With konbinatorian formulak iritsi erraz ulertzeko, gaur egun dezakezu probabilitatea definizio klasikoa joan. honela itxura adierazpen hau bezalakoa da:

P (A) = m: n.

formula honetan, m - berdin eta erabat guztia oinarrizko gertakari kopurua - baldintza gertaera batek aproposa kopurua, eta n da.

Badira artikuluan adierazpen askok ez dira kontuan hartuko ezer baina kaltetutako garrantzitsuenak izango dira, hala nola, adibidez, gertaeren probabilitatea zenbatekoak:

P (A + B) = P (A) + P (B) - teorema hau gertakari bateraezinak bakarrik gehituz egiteko;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) -, baina hori baino ez da bateragarria gehituz.

Gertaera lanak probabilitatea:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - teorema honek gertaerak independenteak egiteko;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - eta hau menpeko da.

Amaitu ekitaldiak formula zerrenda. Probabilitate teoria esaten digu teorema Bayes, zein itxura hau du:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

formula hau, H _1, H _2, In ..., H _n - hipotesi multzo oso bat da.

stop honetan, laginak formulak aplikazio egingo dira praktika zeregin zehatzak jotzen.

adibide

arretaz aztertzeko inolako matematikaren adar bada ere, ez da ariketak eta lagin irtenbide gabe. Eta probabilitatea teoria: gertaerak, adibide hemen kalkulu zientifiko berretsiz osagai bat dira.

permutazio kopurua formula

Adibidez, txartela bizkarreko batean hogeita hamar txartelak, bat nominala hasita. Hurrengo galdera. Zenbat bizkarreko beraz aurpegi bat eta bi balioa duten txartelak ez ziren ondoan dago tolestu moduak?

Zeregin ezarri da, orain dezagun aurrera egin aurre. Lehenik hogeita hamar elementuen permutazio, horretarako gainetik formula hartuko dugu kopurua zehaztu behar duzu, bihurtzen da P_30 = 30!.

Oinarritutako arau honetan, zenbat aukera daude arautuko modu askotan bizkarreko badakigu, baina haiengandik izango dugu kenduta beharko dira bertan zaie lehen eta bigarren txartela hurrengo izango da. Horretarako, aldaera bat, noiz lehena da bigarrena kokatutako hasteko. Bihurtzen da lehen mapa hori hogeita bederatzi tokiak hartu ahal izango dute - lehen hasita hogeita bederatzigarren, eta hogeita bigarrena bigarren txartela, hogeita bederatzi eserleku txartelak bikoteak for txandaka. Aldi berean, besteek hogeita zortzi eserleku har dezake, eta edozein ordena. Hau da, hogeita zortzi karta-berrantolaketa egiteko dituzten hogeita zortzi aukera P_28 = 28!

Emaitza da erabakia kontuan hartzen badugu, lehen txartelarekin bigarren aukera gehigarria dagoenean 29 ⋅ 28 lortzeko! = 29!

metodo bera erabiliz, kasua denean, lehen txartela da bigarren azpian dago soberan dauden aukeren kopurua kalkulatzeko behar duzu. Era berean, lortutako 29 ⋅ 28! = 29!

honetatik ondorioztatzen da hori aparteko aukera 2 ⋅ 29!, bizkarreko 30 biltzeko beharrezko bitartekoak bitartean! - 2 ⋅ 29!. Bakarrik geratzen da kalkulatzeko.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Orain elkarrekin biderkatu zenbakiak guztiak batetik hogeita bederatzi behar dugu, eta ondoren guztiak biderkatzen 28. by amaieran Erantzuna lortzen 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

soluzio adibideak. ostatua kopuruaren formula

Arazo honetan, jakiteko zenbat daude hamabost liburuki jarri apal baten gainean modutan behar duzu, baina hori bolumen hogeita hamar bakarrik baldintza pean.

Zeregin honetan, erabakia apur bat, aurreko urtean baino errazagoa da. Dagoeneko ezagutzen formula erabiliz, beharrezkoa da hogeita hamar kokapenak hamabost bolumen kopuru osoa kalkulatzeko.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Erantzun, hurrenez hurren, 202 843 204 931 727 360 000 berdina izango da.

Orain hartu zeregina pixka bat zailagoa da. zenbat daude Hogeita hamabi apaletan liburu antolatzeko erak, proviso duten bolumenak bakarrik hamabost apal berean bizi ahal dituzten jakin behar duzu.

erabakia hasieran aurretik arazo batzuk hainbat modutan konpondu ahal argitzeko nahi, eta honetan bi modu daude, baina bai bata eta formula bera aplikatuko da.

Zeregin honetan, aurrekoaren erantzuna hartu ahal izango duzu, zenbat aldiz bete dezakezu apala hamabost liburu modutan kalkulatu ditugu han dagoelako. Horrexegatik da A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Bigarren Erregimentuak formula reshuffle arabera kalkulatzen da jarritako hamabost liburu delako, hamabost gainerako bitartean. formula P_15 = 15 erabiltzen dugu!.

Bihurtzen da batuketa izango A_30 ^ 15 ⋅ P_15 modutan, baina, horrez gain, hogeita hamasei zenbaki guztiak produktua zenbakien produktua batetik biderkatuko lirateke hamabost, azkenean batetik zenbaki guztiak produktua buelta hogeita hamar, hori da erantzuna 30 da!

Baina arazo hau ezin beste modu batean konpondu ahal - errazago. Horretarako, ez dagoela inor Hogeita hamar liburu apal da imajinatu dezakezu. Horiek guztiak dira plano honetan jartzen, baina baldintza eskatzen duelako ez dagoela bi apal, bat luzea zerraketa dugu erdia, bi bira hamabost ziren. honetatik bihurtzen da moldaketa hau dela P_30 = 30 izan daiteke!.

soluzio adibideak. konbinazio-kopurua formula

Who hirugarren konbinatorian arazoa aldaera bat jotzen da. zenbat modu daude hamabost baldintza liburuak hogeita hamar berdin batetik aukeratu behar duzu antolatuz jakin behar duzu.

erabakia izango, noski, aplikatu formula konbinazio kopurua alde egiteko. baldintza argi bihurtzen dela hori bera hamabost liburu ordena ez dela garrantzitsua. Beraz, hasiera batean jakiteko Hogeita hamar hamabost liburu konbinazio kopuru osoa behar duzu.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Hori da dena. formula hau erabiliz, ahalik eta denbora laburrenean, arazo bat, hala nola, erantzuna, hurrenez hurren, 155.117.520 berdina konpontzeko.

soluzio adibideak. Probabilitate definizio klasikoak

arestiko formula erabiliz, erraza ere erantzun bat aurkitu ahal izango da. Baina argi eta garbi izango da ikusi eta ekintza ikastaro jarraitu.

Zeregin jakin kutxa batean daude hamar guztiz berdin pilotak. Horietatik, lau horia eta sei urdina. the urn baloi bat hartu da. Beharrezkoa da, probabilitatea urdina dostavaniya ezagutzeko.

Arazoa konpontzeko dostavanie urdinak baloia gertaera A. izendatzeko beharrezkoa da esperientzia hau hamar emaitzak, izan dezake horrek, aldi berean, oinarrizko eta berdin litekeena. Aldi berean, hamar eta sei aldeko ekitaldi A. the Ebatzi honako formula hauek dira:

P (A) = 6: 10 = 0.6

formula hau aplikatuz, ikasi dugu baloia urdina dostavaniya aukera hori 0.6 da.

soluzio adibideak. gertakari zenbateko probabilitatea

Who aldaera bat den ekitaldirik zenbateko probabilitatea formula erabiliz konpondu ahal izango dira. Beraz, egoera ez dagoela bi kasu daude eman, lehenengoa grisa eta bost bola zuria da, bigarren bitartean - Zortzi gris eta lau zuri-pilotak. Ondorioz, lehen eta bigarren kutxak horietako bat hartu. beharrezkoa da jakiteko zer dira ez zuen pilotak grisa eta zuria dira aukerak ditu.

Arazo hau konpontzeko, beharrezkoa da gertaera identifikatzeko.

• P (A) = 1/6: - Beraz, A lehen box bola gris behar dugu.
• A '- bonbilla zuriak ere, lehen box hartua P (A') = 5/6.
• The - dagoeneko ateratako bigarren kanala bola gris: P (B) = 2/3.
• B '- hartu bigarren tiradera bola gris bat: P (B') = 1/3.

Arazoaren arabera, beharrezkoa da, fenomeno bat gertatu: AB »edo« B. formula erabiliz, lortu dugu: P (AB) = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Orain probabilitatea biderkatu formula erabiltzen zen. Hurrengoa, jakiteko erantzun, beraien ekuazio gehituz aplikatu behar duzu:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Hori nola, formula erabiliz, hala nola arazoak konpondu ahal izango duzu.

emaitza

Paper on "Probabilitate teoria", zeregin garrantzitsua dela gertaeren probabilitatea informazioa aurkeztu zen. Jakina, dena ez du kontuan hartzen dira, baina aurkeztutako testuan oinarrituz, teorikoki lortu ditzakezun matematikaren adar hau ezagutu. Jotzen zientzia baliagarria ez bakarrik enpresa profesionalean, baina baita eguneroko bizitzan ere izan daiteke. Erabili ahal izango duzu edozein ekitaldi bat aukera kalkulatzeko.

Testuak, gainera, datak esanguratsua probabilitatea teoria garatzen zientzia gisa historian, eta pertsona horren lanak egin dira bertan jarri izenak jasan zuen. Hori nola giza jakinmina duela ere, jendeak ikasi, zenbatu, nahiz eta ausazko gertaerak ekarri. Behin besterik honetan interesa dira, baina gaur egun jada guztiak ezagutzen da. Eta inork ez zer egingo digu gertatuko etorkizunean esan daiteke, zer teoria lotutako beste aurkikuntza aparta Aztertutako, konpromisoa hartu beharko litzateke. Baina gauza bat argi dago - Ikerketaren oraindik ez da merezi du!