Simple iterazio ekuazio linealetako sistemak ebazteko metodoa (Slough)

balio ezezagun balioak aurkitzea pixkanaka bidez argitzeko algoritmo matematiko bat - Simple iterazio metodoa, ondoz hurbilketa metodoa ere deitua. Metodo honen funtsa da, izen gisa dakar, pixkanaka hasierako ondorengo direnak hurbilketa bat adierazi dira, dira emaitza xeheagoa bihurtuz. Metodo hau aldakorra balioa aurkitu Funtzio jakin bat erabiltzen da, eta ekuazio sistemak ebazteko, bai lineala eta ez-lineala.

Ikus dezagun nola metodo hau da Sistema linealen konponbide ezarri dezagun. finkoa puntuko iterazio algoritmoa honako hau da:

1. konbergentzia hasierako matrizearen baldintzak egiaztatzea. konbergentzia teorema A: jatorrizko sistemaren matrizea da diagonalki dominante bada (hau da, diagonal nagusiko elementuen lerro bakoitzean magnitude elementuen aldean balio absolutuetan diagonalen batura baino handiagoa izan behar du), iterazio simple metodoa - konbergente.

2. jatorrizko sistemaren matrizea ez da beti diagonal nagusitasuna. Kasu horietan, sistema eraldatu ahal izango dira. konbergentzia baldintza bete duten ekuazioak geratzen da oso-osorik, unsatisfying eta konbinazio lineala egiteko, adibidez biderkatu, kendu, ekuazio tolestuta elkarrekin nahi duzun emaitza ekoizteko.

Jasotako diagonal nagusia sistema deserosoa faktoreak badira, orduan bai ekuazio honen alboetan inprimakia dagokionez batera gehituko dira _i * x _i, eta horrek seinaleak diagonal elementuen seinaleak bat etorri beharko.

3. ondoriozko sistemaren bihurtzen ikuspegi normaltasunera:

^{x - = β - + α *} x -

Hau modu askotan egin daiteke, adibidez: lehen ekuazio batetik adierazteko x ₁ bestelako ezezagun bitartez, vtorogo- x _2, x tretego- abar ₃ Horrela formula erabiltzen ari gara:

_{α ij = - (ij a /} ii a)

_i = b _I / _II a
Ziurtatu berriro lortzen den sistema normal mota dagokio to the konbergentzia egoera:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, eta i = 1,2, ... n

4. Hasi, aplikatzeko benetan, ondoz hurbilketa metodoa.

x ⁽⁰⁾ - hasierako hurbilketa, adierazi nahi dugu therethrough x ^(1), x jarraian ⁽¹⁾ x express ^(2). honela matrize inprimaki baten formula orokorra:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

kalkulatzen dugu, nahi den zehaztasun iritsi arte:

_{Gehienez | x i (k) -x} i (k + 1) ≤ ε

Beraz, dezagun praktikan, iterazio simple metodoa. Adibidez:
Ebatzi sistemetan lineala:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 zehaztasun 10 ^-3 batera ε =

Ikusi nagusituko modulua elementuak diagonal bada.

konbergentzia baldintza hori hirugarren ekuazioa batek pozik ikusten dugu. Lehenengo eta bigarren eraldatu, lehen ekuazioa bi gehitu dugu:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Hirugarren batetik Kendu:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

baliokidea jatorrizko sisteman eraldatu ditugu:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Orain ikuspegi normal sistema murrizten dugu:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

etorriko prozesua konbergentzia egiaztatu dugu:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, adibidez Baldintza betetzen.

.3947
Hasierako hurbilketa x ⁽⁰⁾ = 0.4762
.8511

Ordezko balio horiek normal motako ekuazioa sartu, balio hauek lortu ditugu:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0.486793
0.446639

Ordezko balio berriak, lortu dugu:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

to zehaztutako baldintza betetzen duten baloreak hurbilago lortu arte arte kalkulatu jarraituko dugu.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

Begiratu emaitzak zuzentasuna:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Lortutako balioen ordez jatorrizko ekuazioa sartu lortutako emaitzak guztiz asetzeko ekuazioa.

Ikusten den bezala, simple iterazio metodoa emaitzak nahiko zehatza ematen du, baina ekuazio hau konpontzeko, denbora asko igaro eta astuna kalkuluak egin behar izan genuen.